B1.-DIMENSIONES DE PARÁMETROS DEL CAMPO ELÉCTRICO.

Un poco de Historia:
Pasaron 24 siglos desde que Tales de Mileto registró en sus escritos que el ámbar (elektron en griego) al ser frotado, atraía pedacitos de papyrus o plumas, hasta que Peter Peregrinus de Maricourt, un cruzado francés, escribió en 1269 un manuscrito titulado "De Magnete", sobre sus experimentos con imanes, habiendo bautizado como "polos", los extremos del imán.
Charles Augustin de Coulomb, fue realmente el padre de la electricidad y el magnetismo al publicar en 1785 sus famosas leyes, basadas en experimentos que él realizó con una balanza de su invención.
Con su balanza de torsión, determinó que:
"Cargas eléctricas estáticas actúan entre sí con una fuerza proporcional a su carga (o masa) eléctrica e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa".
Experimentando con imanes largos, también determinó que:
"Polos magnéticos actúan entre sí con una fuerza proporcional a su masa magnética e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa".
Estas leyes las expresó en forma matemática, estableciendo sus dos famosas ecuaciones:

                                      f = q1 x q2 / r² , y también

                                      f = m1 x m2 / r²

Donde f es la fuerza que existe entre dos cargas eléctricas q1 y q2 y r es la distancia que las separa; también f es la fuerza existente entre dos polos magnéticos m1 y m2 y r la distancia que los separa.
Mas adelante fue necesario introducir constantes de proporcionalidad, las magnitudes de los cuales dependen de las unidades de f, r, q y m, así como del medio en que las fuerzas se desarrollen.
Dichas constantes fueron: _a y _a
Introduciendo dichas constantes de proporcionalidad, las ecuaciones de Coulomb quedan de la siguiente forma:

                                     f = q1 x q2 / _a r² , y también

                                    f = m1 x m2 / _a r²

Al factor _a, se le llama "permitividad absoluta" del medio; en el vacío (o en el aire), siendo k = _a / ₀  , la permitividad relativa del medio (o constante dieléctrica).
Al factor _a, se le llama "permeabilidad absoluta" del medio; en el vacío (o en el aire), siendo  = _a / ₀, la  permeabilidad relativa del medio.
Se le llama Es a la intensidad del campo eléctrico producido por una carga q a una distancia r, y vale:

                                      Es = q / (_a x r²)

Se le llama Ds a la densidad del flujo eléctrico existente a una distancia r de una carga q, y vale:

                                   Ds = Es x _a = q / r²

Para establecer las dimensiones en que se expresan Es y Ds, es necesario establecer las dimensiones de la cantidad eléctrica q.

En forma dimensional: [F] = [Q]² / [] L² = MLT^-2

Donde [Q], representa las dimensiones de la carga y ] las dimensiones de la permitividad.

Por lo tanto:

                                      [Q] = ]^1/2 M^1/2 L^3/2 T^-1

y

                                 [Es] =[Q]/[]L² =[e]^-1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1

y

                                 [Ds] =[Q]/L² = []^1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1

B2.-DIMENSIONES DE PARÁMETROS DEL CAMPO MAGNÉTICO.

La ley de Coulomb para la fuerza existente entre dos polos magnéticos, determina las dimensiones del polo magnético [Mm], de acuerdo con la relación:

                                    [F] = MLT^-2 = [Mm]² / []L²

Donde [] es la dimensión de la permeabilidad;

por lo tanto:

                                     [Mm] =  []^1/2 M^1/2 L^3/2 T^-1

La intensidad de campo            H = m / _a r²,

y la densidad de flujo

                                                 B = m / r² 

deben tener las dimensiones:

                          [H]=[Mm]/[]L² = ]^-1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1 

                            [B]=[Mm]/L² = ]^1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1

Otro poco de historia:
Con excepción de ciertos hechos aislados, como por ejemplo los experimentos que en 1752 realizó Benjamin Franklin con su cometa, todos los experimentos eléctricos hasta 1799, habían sido realizados con electricidad estática.
Fue en ese año en el que Alejandro Volta inventó su pila o "celda galvánica", cuando puso en manos de los experimentadores "electricidad en movimiento" o corriente eléctrica.
En 1819 el físico danés Hans Christian Oersted hizo el descubrimiento revolucionario que: "un imán se desvía cuando en su proximidad pasa una corriente eléctrica"; y que en estas condiciones, el alambre que conduce la corriente experimenta una fuerza de reacción.
El descubrimiento de Oersted demostró que: "un campo magnético está invariablemente asociado a una corriente eléctrica".
La publicación de estos hechos anunciados en Julio de 1820 por Oersted, hizo que dos genios: André María Ampere en Francia y Michael Faraday en Inglaterra, establecieran los cimientos sobre los que se basan todos los descubrimientos modernos de la electricidad.

B3.-DIMENSIONES DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA.

En 1820, Ampére, definió la magnitud de las fuerzas existentes entre un alambre conduciendo una corriente eléctrica y un imán, colocado en su cercanía.
Resumió su postulado en la siguiente ecuación:

                                        df =(m/r²)i dl sen  

Donde la fuerza df, actuando en el elemento de corriente idl por el polo magnético m, es proporcional a la masa magnética m y a la corriente i, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa r.
El término sen , toma en consideración el hecho, descubierto por Ampére, de que la fuerza es máxima cuando ambos elementos son perpendiculares entre sí.
La fuerza desarrollada ocurre en una dirección perpendicular al plano formado por el elemento idl y la distancia r, si hay un movimiento relativo entre el circuito y el campo magnético, de forma que las líneas de fuerza del campo magnético, sean cortadas por el circuito eléctrico.

Figura 1

De acuerdo con la figura 1, la fuerza sobre el polo magnético actúa en una dirección dirigida hacia el papel, y una fuerza de reacción igual y opuesta, actúa sobre el conductor en sentido contrario (saliendo del papel).
Si dividimos ambos términos de la ecuación por m, la expresión df/m, del primer término, es por definición la intensidad de campo dH, y en consecuencia:

                                  dH = df/m = idl/r² sen 

La intensidad de campo H, se debe a la existencia de un flujo magnético o líneas de fuerza magnéticas.
En el sistema cgs, la unidad de densidad de flujo magnético, se llama gauss y equivale a una línea magnética cgs por centímetro cuadrado.
El uso de la palabra "flujo", en la anterior definición, se debe al hecho que la forma o acomodo que toman las limaduras de fierro en un campo magnético se asemejan a las líneas de flujo producidas por las corrientes de líquidos o gases, por lo que dieron la idea hipotética de que algo "fluía" en un campo magnético.
La unidad de flujo magnético en el sistema cgs se llama maxwell y se representa por los símbolos j o f.
En general, si le llamamos B a la densidad de flujo donde las líneas de inducción cruzan un elemento de área dA con un ángulo  con respecto a la perpendicular a dA, se tiene:

                                  f = ƒB cos dA

Si colocamos un polo magnético de m unidades cgs, en el centro de una esfera de radio r.
La densidad de flujo en cualquier punto de la superficie de la esfera será m/r²  y el flujo total que emana del polo m, será:

                        f  =m/r² x 4  r² = 4  m  maxwells
 

Figura 2

Ampere generalizó el caso, prescindiendo del polo magnético, suponiendo un alambre por el que fluye una corriente eléctrica, colocado en un campo magnético, como se ilustra en la figura 2.
En dicha figura, se supone que existe un campo magnético de densidad de flujo uniforme B y por un alambre recto de longitud l, que forma un ángulo recto con respecto a las líneas de fuerza del flujo magnético, si circula una corriente i.

La fuerza existente en el alambre es:

                                                         f = Bil
 

Figura 3

Si  existe  un  ángulo  , (figura 3),   entre el alambre y la dirección del campo magnético, la fuerza existente es:

                                        f= B i l sen  

De la ecuación básica de la Ley de Ampere:

                                                 f=Bil, podemos deducir que:

                                                 i=f/Bl,

de donde, las dimensiones de la corriente eléctrica son:

[I] =[F]/[B]L = MLT^-2/([]^1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1 ) L = ]^-1/2 M^1/2 L^1/2 T^-1

Pero como la corriente eléctrica se define también como la carga eléctrica que circula por segundo, se tiene que:

                                        [I] = [Q]/T = [Q]T^-1

y sustituyendo las dimensiones de Q,:

                                    [I] = ]^1/2 M^1/2 L^3/2 T^-2

B4.-DIMENSIONES  DE   LA  FUERZA   ELECTROMOTRIZ.

El descubrimiento de Oersted de que:

"una corriente eléctrica, produce un campo magnético",

llevó a Faraday a pensar que entonces, con un campo magnético, se debería poder producir una corriente eléctrica.
En 1821, Faraday inventó el primer motor eléctrico, consistente en un disco de cobre, colocado entre los polos de un imán, que giraba al hacer circular una corriente entre el eje del disco y la periferia.
Sin embargo, no fue sino hasta 1831 en que realizó su famoso experimento en que estableció el "principio de inducción electro-magnética".
Básicamente este principio establece que:

1. Se induce una fuerza electromotriz (un voltaje), o fluye una corriente, (si el circuito está cerrado), cuando en dicho circuito existe un flujo magnético "variable", o:

2. Si hay un movimiento relativo entre el circuito y el campo magnético, de forma que las líneas de fuerza del campo magnético, sean cortadas por el circuito eléctrico.

La primera de las alternativas es el principio en que se basa el transformador y la segunda es el principio en que se basa el generador eléctrico.
En cualquier caso, la fuerza electromotriz inducida en una espira del circuito es proporcional a la velocidad de cambio del flujo del circuito magnético, es decir:

                                            IeI = k N d/dt

Si suponemos que k, tiene valor unitario, la fuerza electromotriz generada cuando el flujo magnético cambia a razón de 1 maxwell por segundo es un abvolt.
 

Figura 4

Consideremos ahora el circuito ilustrado en la figura 4
En dicha figura el alambre ab, se puede deslizar sobre el conductor cdef en forma de u.
Un flujo magnético de   maxwells se supone existente en la forma indicada en la figura, y produce una densidad de flujo B en el alambre ab.
Si desplazamos el alambre ab a una posición a'b', ejerciendo sobre él una fuerza f' que le imparte una velocidad v, se inducirá una corriente i que circulará en la dirección abeda.
De acuerdo con la ley de Ampere, la fuerza que tenemos que vencer para mover el alambre es:

                                                    f = Bil

Para desplazarlo una distancia ds, a la posición a'b', tendremos que aplicar energía mecánica durante el tiempo dt, de manera que:

                                            dW = f ds = Bil ds

Durante el mismo intervalo se desarrollará una energía eléctrica en el circuito, que vale:

                                                        ei dt.

Por el principio de conservación de energía

                                                   ei dt = Bil ds        de donde:

                                             e = Bl (ds/dt) = Blv

Esta relación fundamental nos fija las dimensiones de la fuerza electromotriz:

                                              [E] = [B] L (LT^-1)

Pero como                         [B] =[]^1/2 M^1/2 L^-1/2 T^-1 

Resulta que:

                                         [E] = []^1/2 M^1/2 L^3/2 T^-2 

Pero como también la fuerza electromotriz se ha definido como el trabajo necesario para transportar una unidad de carga eléctrica alrededor de un circuito eléctrico cerrado, resulta que:

                                            [W] = [E] [Q] = M L² T^-2  por lo tanto:

                                            [E] = M L² T^-2 / [Q]    y como

                                          [Q] = []^1/2 M^1/2 L^3/2 T^-1,    resulta:

                                            [E] = []^-1/2 M^1/2 L^1/2 T^-1

B5.- LA VELOCIDAD DE LA LUZ ES UNA CONSTANTE.

La figura 5 representa la antena vertical de un transmisor de radio, que en el instante mostrado tiene una corriente dirigida hacia arriba.
Esta corriente produce un campo magnético cuyas líneas de fuerza son círculos concéntricos a la antena.
Simultáneamente produce líneas de fuerza eléctrica que se extienden de la antena al piso, en la forma indicada en la figura.
Ambos juegos de líneas se mueven alejándose de la antena, a medida que la corriente alterna a alta frecuencia.
Supongamos que hay un pequeño alambre de longitud l colocado en el punto P a una distancia suficiente de la antena y que sea perpendicular tanto a la línea del campo magnético como a la dirección en que la línea se mueve en el punto P.
Una fuerza electromotriz se induce en el alambre que vale:

                                                V = Blv = ₀Hlv

donde B es la densidad de flujo magnético en el punto P y v la velocidad a que la línea de fuerza se aleja de la antena formando un ángulo recto con el alambre, nos indica que el alambre de longitud l se encuentra en el espacio libre y que todas las cantidades se expresan en unidades mks.
Por definición, la diferencia de potencial existente entre los extremos del alambre es igual al trabajo (en joules) requerido para mover la unidad de carga eléctrica (coulomb) de un extremo al otro.
Esto implica que en la dirección del eje del alambre, debe existir un campo eléctrico de tal magnitud

                                                 Es = Ds / ₀ 

tal que Es l deba ser igual a V.

En consecuencia:

                                V = Blv = ₀Hlv = Esl = (Ds/₀)l

Cancelando el factor común l que aparece en los términos de la ecuación, resulta:

                                      Bv = ₀Hv = Ds/₀ 

No obstante que se supuso para deducir la ecuación la existencia de un alambre de longitud l en el punto P, esa longitud ha desaparecido de la expresión final que define la relación entre los parámetros B Ds y v en el punto P.
Esto me recuerda la historia del gato Cheshire de "Alicia en el País de las Maravillas" - el gato desapareció, pero quedó su sonrisa -.
Este resultado nos indica que el campo magnético que se mueve en el espacio, induce automáticamente un campo eléctrico tal que los vectores B, Ds y V son perpendiculares entre sí y cuya magnitud está expresada por la ecuación anterior.
No obstante que la ecuación relaciona las magnitudes B, Ds y v en una onda que se mueve en el espacio, no define explícitamente la magnitud de v.
Una relación independiente entre estas cantidades vectoriales se puede deducir de la Figura 6.
En esta figura, q representa una carga (en coulombs) que se mueve hacia la derecha a una velocidad arbitraria v'.
En el instante representado en la figura, un observador colocado en el punto P, a una distancia r del punto q, notará la existencia de un campo eléctrico en la dirección de r tal que la densidad dieléctrica de flujo en el

Figura 6

Punto P es: 

                                                    Ds = q / r²

Puesto que la carga q, está en movimiento relativo al observador colocado en el punto P; esta carga en movimiento equivale a una corriente dirigida hacia la derecha del dibujo y en consecuencia producirá un campo magnético cuyas líneas de fuerza serán círculos concéntricos a la línea O1, O2.

La ley de Ampere, nos dice que una corriente de i amp. en un conductor de longitud dl produce un campo magnético a una distancia r, perpendicular a dl, tal que:

                                                 dH = (i dl) / r²

pero como                                   i = dq / dt

esta ecuación puede ser escrita:

                                 dH = [(dq/dt) dl] / r² = [dq (dl/dt)]/ r²

el término dl/dt es igual  a la velocidad v' a la que la carga dq, se desplaza, llevando su campo eléctrico en la dirección dl.
Por lo que, para la carga de q (coulombs), en lugar de dq, la intensidad del campo es H en lugar de dH y por lo tanto:

                                                   H = qv' / r²

pero como q / r² = Ds, entonces:

                                              H = B / ₀ = Ds v'

En esta ecuación se observa que la carga q ha desaparecido, en la misma forma que desapareció la longitud l.
Por lo tanto se llega a la conclusión que si un campo eléctrico de densidad dieléctrica Ds, se mueve a una velocidad v', un observador notará la existencia de un campo magnético de densidad

                                                B = ₀ Ds v'

que se mueve con Ds.

En consecuencia, si la velocidad a que se mueve Ds es la misma que la indicada en la figura 5, o sea la velocidad de una onda electromagnética en el espacio libre, se deduce que en el punto donde la magnitud del campo eléctrico es Ds, se genera un campo magnético tal que:

                                              H = B / ₀ = Ds v

Es mas, las relaciones espaciales de los vectores H, Ds y v mostradas en la figura 6 son iguales a las mostradas en la figura 5.
De aquí se concluye que: si en la figura 5, el campo magnético en movimiento, induce un campo eléctrico; en la figura 6, el campo eléctrico en movimiento induce un campo magnético.
Estos efectos que se han considerado separadamente, deben ocurrir simultáneamente en una onda electromagnética que se propague en el espacio; en otras palabras, los dos campos se deben generar mutuamente.
Por lo tanto es legítimo considerar a las ecuaciones:

                                              Bv = ₀ H v = Ds / ₀  

                                                 H = B / ₀ = Ds v

Como ecuaciones simultáneas y

de la primera:                               Ds = ₀ ₀ H v

de la segunda:                              Ds = H / v

dividiendo la primera por la segunda:

                  Ds/Ds = (₀₀ Hv)/(H/v)1 = ₀ ₀ v² ;    ₀ ₀ = 1 / v²

                                               v² = 1 / ₀ ₀ 

Pero v² es el cuadrado de la velocidad del desplazamiento de la onda en el espacio vacío que le llamamos C, de forma que:

                                                C² = 1 / ₀ ₀  , o sea:

                                     C = 1 / (₀ ₀)^1/2 = Velocidad  de la luz.

que   es   una   constante.